النهايات والاشتقاق في الرياضيات

الحدود والاشتقاق في الرياضيات

• الاشتقاق هو أحد مبادئ علم التمايز ويقوم على دراسة أساسيات الكميات الصغيرة ومبني على دراسة الاشتقاق والوظيفة.
• الغرض من الحدود هو ربط السلوك عندما تقترب قيم المتغير x من رقم يتم التعبير عنه بالصيغة الرياضية s (x) – a ، مما يعني نهاية الارتباط s (x).
• إذا كانت قيم x قريبة من قيم a ، فإن قيمة a تمثل الأرقام الحقيقية.
• يجب أن يكون الحد موجودًا وأن يتم تعريف الوظيفة s (x) على مدى فترة مفتوحة قصيرة الطول على النحو التالي (أ – ج ، أ + ج) وأن الرقم أ و (ج) يمثلان أرقامًا حقيقية محدودة.
• ليس من الضروري تحديد s (x) على الرقم a ، ولكن يجب استيفاء شرط أن تكون قيمة الحد في حالة الاقتراب من a من الجانب الأيسر مساوية لقيمتها من الجانب الأيمن.
• أم الاشتقاق هي الرقم المشتق على الرسم البياني للدالة التي تحتوي على أسس وعدد من القيم الحقيقية عند نقطة تسمى المعامل المباشر للظل.
• المعدل الذي تتغير به قيمة x هو نتيجة تغيير قيمة (y) ويرتبط بدالة رياضية.

كيفية حساب الحدود جبريًا

أم لا

• النهاية عند نقطة لإيجاد lim f (X) نعوضها مباشرة حيث ، العدد الحقيقي lim f (x) = وهو شكل محدود.
• والصيغة غير المحدودة lim f (x) = 0 0 في هذه الحالة نحلل البسط والمقام ونختصر العامل المشترك أو نحرر البسط والمقام ونختصر العامل المشترك.

في المركز الثاني

• النهاية عند اللانهاية أولاً هي نهاية كثير الحدود ، وهي وصف لسلوك منحنياتنا التي تتزايد أو تتناقص.
• إلى النهاية عند اللانهاية نهاية الدوال النسبية عند اللانهاية نقارن البسط والمقام عندما تكون درجة البسط> من درجة المقام ، تكون النهاية لا نهائية.
• إذا كانت درجة البسط = درجة المقام ، فإن النهاية = المعامل الرئيسي للبسط ÷ المعامل الرئيسي للمقام.
• في حالة درجة البسط <درجة المقام ، النهاية = صفر.

ثالث

• نهاية الخلافة = نهاية فترة الخلافة.
• أخيرًا ، حد الدالة المقلوبة يمكن استخدام هذه الخاصية لحساب حد الدوال النسبية بقسمة كل حد في البسط والمقام على أعلى قوة لمتغير الوظيفة.

ما هي النهايات والاشتقاقات؟

• تعتبر الحدود أحد مبادئ التفاضل وتتناول دراسة الاشتقاق من خلال دراسة المفاهيم الأساسية للكميات متناهية الصغر.
• تم بناء الاشتقاق على حدود لدراسة اشتقاق الوظيفة ، وذلك لأن الحدود مرتبطة بمفهوم الاشتقاق والعكس صحيح.
• أما بالنسبة للاشتقاق ، فهو مرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتغيرات التي تحدث على الوظيفة ، أي أنه سبب وسبب المخرجات ، على سبيل المثال 1 = X عندما تكون Y = 2 ، أي أن X سوف لا تساوي 1 إلا عندما تكون Y = 2 ، كمثال داخل دالة.

الخصائص النهائية

• حد مجموع اقتران معًا = مجموع حدود كل منهما على حدة يعني أن نهاية x – a هي s (x) + p (x) = s (x) – a وتعتبر s ( x) + الطول (x) – ap (x).
• حد الثابت يساوي الثابت نفسه ، مما يعني أن نهاية x – a = c ، وبما أن c هو رقم ثابت ينتج عن ضرب الثابت x حد الارتباط = حاصل ضرب نهاية الثابت مضروبًا في العطف.
• هذا يعني أنه في الرياضيات ، nha x – axs (x) = cx nhas – aq (x) X nhas – ay أن s (x) X nhas – مثل (x) X nha x – ap (x).
• يتم توزيع الحدود في عملية القسمة بحيث يكون المجموع – مثل (x) / p (x) = nha x – مثل (x) nha xap (x) ، بشرط ألا تكون نهاية x – ap (x) يساوي Fer.
• نهاية أداة الربط مرفوعة إلى أس = ناتج رفع نهاية أداة العطف مرفوعة إلى نفس القوة.
• في الصيغة الرياضية ، a (s (x) n = Nahas – as (x) n ، ومصطلحها x – ax = a. وهذا يعني أن نهاية الاقتران s (x) = x ، كقيمة x قريبة من القيمة الأساسية ، وبالتالي فإن القيمة تساوي a.
• يتم توزيع الحدود على الضرب بواسطة nha x → كـ (x) xp (x) = nha x → كـ (x) x nha x → ap (x).

كيف تحسب الحدود

هناك عدة طرق وهي:

الطريقة الأولى

• طريقة الاستبدال يتم استبدال القيمة التي تقترب x في الوظيفة كما هو مذكور أعلاه ، ويمكن العثور على قيمة s (a) لإيجاد حاصل ضرب النهاية.
• على سبيل المثال ، لطريقة الاستبدال ، أوجد قيمة النسبة → 6 (x²-6x + 8) / (x-4) وابحث عن النهاية من خلال s (6) = ((6) ²- (6 × 6) +8) / (6-4) = 3 ، مما يعني أن x → 6 (x² – 6x + 8) / (x – 4) = 3.

الطريقة الثانية

• إنها طريقة تحليل البسط أو المقام أو كليهما وتحويلهما إلى عوامل ، ثم تقليل العوامل المشتركة للبسط مع المقام.
• يتم الحصول على قيمة الحد منه باستبداله.
• مثال على توليفة → 5 (x²-6x + 8) / (x-4) يتم استبدال الرقم 5 في الاقتران والقيمة صفر ÷ صفر ، لذلك يتم استخدام طريقة التحليل.
• بما أن لدينا ← 5 (x²-6x + 8) / (x-5) = nhas → 5 (x-5) (x + 2) / (x-5). باختصار ، حد (x – 5) للبسط والمقام.
• تم الحصول على حد x → 5 (x – 2) ثم إيجاد s (5) ؛ أي باستخدام طريقة الاستبدال ، نحصل على s (5) = 5-2 = 3 ، مما يعني أن القيمة المحددة لـ x → 5 (x²-6x + 8) / (x-5) = 3.

الطريقة الثالثة

• الضرب بالطريقة المترافقة يمكن استخدام هذه الطريقة عندما يكون هناك جذر تربيعي في البسط بحيث يكون هناك كثير الحدود في المقام.
• وفشل طريقة الإزاحة في الحصول على قيمة الصفر في المقام.أثناء هذه الطريقة ، يتم ضرب كل من البسط والمقام في الجذور المترافقة للاستفادة من الخاصية (√ عدد × رقم √ = رقم بدون جذر) .
• مثال على Nahas → 13 ((Q-4) √-3) / (Q-13) نضرب البسط والمقام في الكسر ، ومن خلال ((Q-4) √ + 3) ننضم ونبسط المصطلحات ، نحصل على نتيجة Q → 13 (Q- 13) / (x-13) × (x-4) √ + 3).
• باختصار ، يتم الحصول على المصطلح (x-13) من البسط والمقام من خلال توليفة → 13 1 / ((x-4) √ + 3) ، ثم نستبدل الرقم 13 في الاقتران ، ويتم الحصول على القيمة : 1/6.
• هذا يعني أن minhas → 13 ((x-4) √-3) / (x-13) = minhas → 13 1 / ((x-4) √ + 3) = 1/6.

الطريقة الرابعة

• هي طريقة ضم القواسم ، وتستخدم هذه الطريقة في حالة فشل طرق الاستبدال والعوامل ، وفي حالة عدم وجود جذر تربيعي في المقام ووجود كسر في البسط.
• على سبيل المثال ، اختتم بـ ← 0 [(1/(س+6)) -(1/6)]/ x يتم توحيد مقامات الكسر في البسط.
• ونحصل على نتيجة x → 0 (6 – (x + 6)) / (6 × (x + 6)) ÷ x = تركيبة → 0 – x / 6 (x + 6) ÷ x = تركيبة → 0 – 1/6 × (س + 6).
• ثم نعوض بقيمة x = 0 والنتيجة هي x → 0 [(1/(س+6)) -(1/6)]/ S = Nahas ← 0-1 / 6 × (S + 6) = -1/36.
• قانون لوبيتال في هذا القانون ، نستخدمه عند حل الحدود ويتم استخدامه عندما تفشل طريقة الاستبدال كما يمثلها اشتقاق الاقتران.
• على سبيل المثال: nha x → as (x) / d (x) = nha x → as (x) / da (x).
• على سبيل المثال ، نجد أنها x → 0 e x-1-x-x2 / 2 ÷ x3 وبالتمييز بين كل من البسط والمقام ، ستكون النتيجة x → 0 e x-1-x ÷ 3x
• من خلال اشتقاق كل من البسط والمقام ، يتم الحصول على ما يلي: nc → 0 ex ÷ 6 ونستبدل قيمة x = 0 للحصول على nc → 0 ex ÷ 6 = 1/6.

أهمية الاشتقاق والنهايات

• لها أهمية كبيرة في الحياة ، ويعتبر حساب التفاضل والتكامل من العلوم المهمة في حياتنا ، لأنه يتدخل في جميع الأمور.
• يرتبط التكامل والتمايز ارتباطًا وثيقًا بالفيزياء والميكانيكا ، وهو أحد العلوم المختلفة. والدليل على ذلك أنه إذا كان هناك خزان ماء كبير وبه ثقب ، فعند التكامل يمكننا معرفة متى يكون هذا الخزان فارغًا من الماء.
• باستخدام هذا العلم يمكننا تحديد سرعة السيارة في أي وقت.

الموعد النهائي

• بدأ مبدأ الحدود بالحاجة إلى طريقة لحساب الأطوال والمساحات والأحجام.
• في العصور القديمة ، كان المفهوم الشائع للحدود هو تطوير طريقة التعبئة التي كانت معروفة في العصور اليونانية القديمة ، وكان أرخميدس أول من استخدمها لحساب مساحة الدائرة.

الحساب في العصور الوسطى

• في عصر حسن بن الهيثم ، تم اشتقاق قيمة لصيغة مجموع القوة الرابعة ، واستخدمت النتائج لتنفيذ ما يسمى تكامل هذه الدالة لحساب حجم القطع المكافئ.
• في القرن الرابع عشر ، طور علماء الرياضيات الهنود طريقة مشابهة للتفاضل والتي تم تطبيقها على بعض الدوال المثلثية.
• أصبحت النظرية معروفة في جميع أنحاء العالم باسم سلسلة تايلور أو السلسلة اللانهائية التقريبية.
• لكنهم لم يتمكنوا من الجمع بين العديد من الأفكار المختلفة في إطار الموضوعين الموحدين للمشتق والتكامل.