احسب حجم مخروط الدوران بالتكامل
ما هو حساب حجم مخروط الدوران بالتكامل؟ لقد قيل أن هذا يعني أن الجسم الذي ينشأ من دوران الشكل ، وأن هذا الجسم الهندسي مسطح حول خط مستقيم ، هو في الواقع جسم الدوران. تقع في مستوى الشكل الهندسي ، على سبيل المثال:
- يتم إنشاؤه عن طريق تدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد الجوانب المدرجة ، المخروط الدائري الأيمن ، حيث يكون الجانب هو محور الدوران.
- علاوة على ذلك ، سيتم ذكر ما إذا كان محور الدوران هو المحور السيني أو المحور الصادي.
للحصول على المنحنى y = d (x) ، المطلوب هو الحصول على الحجم الذي ينشأ من دوران المنطقة الموجودة في منحنى الوظيفة والخطوط:
- س = أ ، س = ب على المحور السيني ؛ لذلك ، يتم تقسيم المساحة إلى مستطيلات صغيرة.
- إذن الحجم هو حد مجموع المستطيلات التي تم إنشاؤها عن طريق تدوير هذه المستطيلات مع مراعاة (ص) طول المستطيل ، (∆ س) العرض.
- إذن ، حجم الأسطوانة التي نحصل عليها هو = m r² x ∆ x.
صيغة حجم المخروط
من أهم الأشياء التي نحتاج إلى معرفتها لإيجاد قوانين الحجم ومساحة المخروط:
- نصف القطر: المسافة بين مركز القاعدة الدائرية ومحيطها.
- الارتفاع أيضًا: هو العمود الذي يوضع بين مركز القاعدة الدائرية والرأس المدبب للمخروط ؛ حيث تتشكل الزاوية اليمنى مع القاعدة الدائرية.
- مائل: أو يسمى الارتفاع الجانبي ، وهو المسافة بين أي نقطة من محيط القاعدة الدائرية ، والرأس المدبب.
حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.
رمزياً: حجم المخروط = 1/3 × (π × ن²) × ع ؛ بما أن مساحة القاعدة = π × م² ؛ يعد:
- Nq: نصف قطر القاعدة.
- ج: ارتفاع المخروط.
- و: رقم ثابت يقدر بـ 3.14 أو 22/7.
ملحوظة: توجد علاقة بين حجم المخروط والأسطوانة ، وهي تشبه العلاقة بين حجم الهرم والمنشور.
عندما يتساوى ارتفاع المخروط مع الأسطوانة ، سيكون حجم الأسطوانة ثلاثة أضعاف حجم المخروط.
قانون حجم المخروط المائل والمبتور
المخروط الذي تم قطع جزء من الغطاء عليه بحيث يكون القطع متعامدًا مع الارتفاع ، هو (فجوة المخروط).
بطرح حجم الجزء المقطوع من المخروط الكبير مع القاعدة يمكننا حساب (حجم المخروط المقطوع) ، أو يمكننا اتباع الصيغة التالية:
- حجم المخروط المقطوع = (1/3 × π × n × (م *) ² + (م * × ن) + (م) ²) ، وهو:
- nq: نصف قطر القاعدة السفلية للقطع الناقص.
- Nq: نصف قطر القاعدة العلوية للمخروط المقطوع.
- ج: ارتفاع المخروط المقطوع.
نجد أيضًا أن المخروط الذي لا يقع رأسه على نفس الخط مثل مركز القاعدة هو (المخروط المائل).
الذي يتم حساب حجمه بنفس طريقة حساب حجم المخروط الأيمن.
أمثلة لحساب حجم المخروط.
المثال الأول
مخروط ارتفاعه 18 سم ونصف قطره 8 سم يشير إلى حجمه.
الحل:
- نصف قطر المخروط يساوي 8.
- ارتفاع المخروط 18.
استبدال القيم المذكورة أعلاه في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، والنتيجة هي:
- حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 8² × 18 = 1205.76 سم مكعب.
المثال الثاني
يشير المخروط نصف قطره 12 سم وارتفاعه 14 سم إلى حجمه.
الحل:
- نصف قطر المخروط يساوي 12.
- كما يبلغ طولها 14.
استبدال القيم المذكورة أعلاه في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، والنتيجة هي:
حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 12² × 14 = 2111 سم مكعب.
المثال الثالث
المخروط المقطوع له نصفي قاعدته 6 سم وطوله 2 سم وارتفاعه 10 سم ، فما حجمه؟
الحل:
باستخدام القانون: حجم المخروط المقطوع = 1/3 × π × ح × ((ن *) ² + (ن * × ن) + (ن) ²) ، والاستعاضة عن القيم المذكورة فيه والنتيجة هي:
- حجم المخروط المقطوع = 1/3 × 3.14 × 10 × (2) ² + (2 × 6) + (6) ²) = 544.54 سم مكعب.
المثال الرابع
قطر المخروط 15 سم وارتفاعه 16 سم يدل على حجمه.
الحل:
- نجد أن قطر المخروط 15 سم ، لذلك نصف قطره: 15/2 = 7.5 سم ، وارتفاعه 16 ،
استبدال القيم المذكورة أعلاه في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، والنتيجة هي:
حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 7.5 × 16 = 942 سم مكعب.
العناصر التي قد تعجبك:
الوسط الحسابي في الإحصاء
المنطقة الجانبية من خط متوازي
تحويل من مليمتر إلى متر
المثال الخامس
يشير المخروط نصف قطره 24 سم وارتفاع جانبه 25 سم إلى حجمه.
الحل:
- احسب أيضًا ارتفاع المخروط من ارتفاعه الجانبي باستخدام الصيغة التالية: الارتفاع الجانبي = (مربع الارتفاع + مربع نصف القطر) √ ؛ حيث: الارتفاع = (25²-² 24) = 7 سم.
استبدال القيم المذكورة أعلاه في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، والنتيجة هي:
نجد حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 24² × 7 = 4220.16 سم³.
المثال السادس
إذا كانت سرعة سقوط الرمال من المخروط العلوي إلى المخروط السفلي في الساعة الرملية المكونة من مخروطين متعاكسين في نفس النقطة 50 مم / ثانية.
يبلغ ارتفاع الرمل في المخروط العلوي 24 مم ونصف القطر 10 مم. حدد الوقت اللازم لانتقال الرمل بالكامل من المخروط العلوي إلى المخروط السفلي.
الحل
استبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط لحساب حجم الرمل في المخروط العلوي ، وهو: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، والنتيجة هي: حجم الرمل في المخروط العلوي = 1/3 × 3.14 × 10 ² × 24 = 2512 مم³.
احسب أيضًا الوقت اللازم لانتقال الرمال من المخروط العلوي إلى المخروط السفلي ، مع قسمة حجم الرمال على سرعة سقوطها ؛ والنتيجة هي: الوقت المطلوب لسفر الرمال بالكامل = 2512/50 = 50.24 ثانية.
المثال السابع
قطر المخروط المائل 12 م وارتفاعه 15 م ، أوجد حجمه.
الحل:
- قطر المخروط 12 م ، لذا نصف قطره: 12/2 = 6 م.
- ارتفاعه 15 م.
استبدال القيم المذكورة أعلاه في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، والنتيجة هي:
حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 6² × 15 = 565.2 م³.
المثال الثامن
إذا كان حجم المخروط 169 سم ونصف قطره 4 سم ، فما ارتفاعه؟
الحل:
استبدل القيم المذكورة في قانون حجم المخروط ، وهي:
- حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.
- والنتيجة هي: 169 = 1/3 × 3.14 × 4² × الارتفاع ، فالارتفاع = 10.1 سم.
المثال التاسع
محيط قاعدة خيمة مخروطية الشكل 44 م ، احسب كمية الهواء بداخلها ، مع العلم أن ارتفاعها 9 م.
الحل:
- كمية الهواء داخل المخزن تساوي حجم المخزن المخروطي.
- لذلك يجب حساب حجم المخزن عن طريق استبدال القيم في صيغة حجم المخروط.
ومع ذلك ، يجب أولاً إيجاد نصف قطر القاعدة الدائرية باستخدام قانون محيط الدائرة ، وهو:
محيط الدائرة = 2 × π × م ، ومنها: 44 = 2 × 3.14 × م ، وبالتالي: π = 7 م ، وهو نصف قطر الخيمة.
بالإضافة إلى استبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، تكون النتيجة:
حجم الخيمة = 1/3 × 3.14 × ² 7 × 9 = 462 م³ ، وهي كمية الهواء بداخلها.
المثال العاشر
حجم المخروط ٩ وحدات مكعبة وارتفاعه يساوي نصف قطره ، أوجد قيمة نصف قطره.
الحل:
بافتراض أن قيمة نصف القطر = x ، والتي تساوي الارتفاع ، وفقًا للبيانات الواردة في السؤال ، واستبدال القيم المذكورة في القانون بحجم المخروط ، تكون النتيجة:
حجم المخروط = 1/3 x مساحة القاعدة x الارتفاع ، أي 1/3 x π xx s² xx = 9π.
بتبسيط المعادلة ثم أخذ الجذر التكعيبي للطرفين ، تكون النتيجة:
س = 3 وحدات ، وهي قيمة كل من الارتفاع ونصف القطر.
المثال الحادي عشر
مخروط كبير يبلغ ارتفاعه 18 مترًا ونصف قطره 4 أمتار ويمكن ملؤه بالماء بمعدل 3 متر مكعب كل 25 ثانية ، احسب المدة التي سيستغرقها ملء المخروط بالكامل.
الحل:
لإيجاد حجم مخروط من الماء ، احسب حجمه باستخدام القانون: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، وبالتالي: حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 4 × 18 = 301.44 متر مكعب.
أيضًا ، حساب الوقت اللازم لملء المخروط = حجم المخروط / معدل تعبئة الماء = 301.44 متر مكعب (3 متر مكعب / 25 ثانية) = 2512 ثانية = 41 دقيقة و 53 ثانية.
تجد هنا أيضًا: