تعريف متوازي المستطيل
- يمكن تعريف متوازي السطوح على أنه كيان ثلاثي الأبعاد ، أي أن له الطول والعرض والارتفاع ، والشكل مشابه لشكل الصندوق ، وعادة ما يعتبر حالة خاصة للمنشور ويتكون مما يلي القطع:
- الوجه: المنشور المستطيل له ستة أوجه مستطيلة تسمى الوجوه المستطيلة.
- الأحرف: (بالإنجليزية: edges) هي الحواف التي تشكل السطح ، والتي يمكن تعريفها بطريقة أخرى كخط مستقيم يربط بين رأسين متجاورين في شكل خط متوازي.
- الرأس: هذه هي النقطة أو الزاوية التي تلتقي فيها الأحرف الثلاثة بخط متوازي ، وتكون جميعها في وضع مستقيم.
خواص المنشورات المستطيلة
- بالإضافة إلى تلك المذكورة في التعريف أعلاه ، فإن المناشير المستطيلة لها أيضًا عدد من الخصائص ، وهي:
- كل زوج من الوجوه المتقابلة على منشور الزاوية اليمنى متوازي تمامًا ومتماثل.
- المنشور ذو الزاوية اليمنى له ستة أوجه ، وثمانية رؤوس ، واثنا عشر ضلعًا.
- الحواف المقابلة للمنشور متوازية.
- وتجدر الإشارة هنا إلى أنه إذا تساوى الطول والعرض والارتفاع ، فإن المكعب يسمى المكعب.
حجم متوازي المستطيلات
يمكن حساب حجم خط متوازي ثلاثي الأبعاد باستخدام الصيغة التالية:
- حجم المنشور المستطيل = الطول × العرض × الارتفاع
- وفي الرمز: H = A × B × C
- H: حجم خط الموازي.
- ج: طول خط الموازي.
- ب: عرض خط الموازي.
- ج: ارتفاع خط الموازي.
أمثلة لحساب حجم المنشور المستطيل.
1- المثال الأول
- ما هو حجم منشور مستطيل طوله 14 سم وعرضه 12 سم وارتفاعه 8 سم؟
- الحل: حجم المنشور المستطيل = الطول × العرض × الارتفاع.
- إذن: حجم خط الموازي = 14 × 12 × 8 = 1344 سم 3
2- المثال الثاني
- ما حجم خط متوازي طوله 14 سم وعرضه 50 مم وارتفاعه 10 سم؟
- الحل: حجم المنشور المستطيل = الطول × العرض × الارتفاع
- نظرًا لأن الطول والارتفاع بالسنتيمتر ، فيجب تحويل العرض إلى سنتيمترات بحيث تكون جميع الأبعاد في نفس الوحدة ، فمن المعروف أن 10 مم = 1 سم ، وبالتالي فإن العرض يساوي: 50 مم / 10 سم = 5 سم.
- بما أن الأبعاد في نفس الوحدة ، يمكن إيجاد الحجم التالي: حجم المنشور المستطيل = 14 × 5 × 10 = 700 سم 3.
3- المثال الثالث
- عند شراء جدار مستطيل متوازي السطوح بارتفاع 7.5 سم وطول 25 سم وعرض 10 سم يكون كل 1000 طوبة بطول 20 مم وارتفاع 2 مم وعرض 0.75 مم التكلفة؟ يساوي 900 قطعة نقدية؟
- الحل: يمثل حجم الجدار حجم خط الموازي ، والذي يمكن حسابه على النحو التالي:
- حجم الجدار = الطول × العرض × الارتفاع = 20 م × 2 م × 0.75 م = 30 م³.
- يمثل حجم الطوب أيضًا حجم خط الموازي ، والذي يمكن حسابه على النحو التالي: كتلة الطوب = 25 سم × 10 سم × 7.5 سم = 1875 سم مكعب.
- عدد الطوب المطلوب = حجم الجدار / حجم الطوب ، فيما عدا أن حجم الطوب بالسنتيمتر المكعب وحجم الجدار بالمتر المكعب. لذلك ، يجب تحويل حجم الجدار بقسمة الحجم على القيمة (1،000،000) سم مكعب لتوحيد الوحدة.
- لأن كل 1 م³ = 1،000،000 سم مكعب ، حيث: حجم الطوب (متر مكعب) = 1875 / 1،000،000 = 0.001875 م.
- عدد الطوب = 30 / 0.001875 = 16000 طوبة.
- العملية التناسبية العلاقة بين عدد القوالب والتكلفة كالتالي:
- كل 1000 خلية → 900 قطعة نقدية
- لكل 16000 مربع ← ؟؟
- عند إجراء الضرب التبادلي ، فإن تكلفة الكتلة = 900 × 16000/1000 ، أي ما يعادل 14400 قطعة نقدية.
4- المثال الرابع
- يبلغ طول المسبح الأولمبي 50 مترا وعرضه 25 مترا وعمقه مترين ، ما هي كمية المياه التي يمكن أن يحملها المسبح؟
- الحل: يمكن التعبير عن كمية الماء في البركة بالحجم ، وحجم الماء يساوي حجم متوازي المستطيلات ، ويمكن أن يكون على النحو التالي:
- حجم خط الموازي =
- الطول × العرض × الارتفاع = 50 × 25 × 2 = 2500 متر مكعب ، وهي كمية الماء في البركة.
5- المثال الخامس
- إذا كان طول خط الموازي 8 سم وارتفاعه 3 سم ، فما عرضه إذا كان حجمه 120 سم 3؟
- الحل: حجم المنشور المستطيل = الطول × العرض × الارتفاع.
- لذلك ، 120 = 8 × العرض × 3. حل هذه المعادلة ، العرض = 5 سم.
6- المثال السادس
- صمم فؤاد صندوقًا على شكل مستطيل متوازي السطوح بحجم 2500 سم 3 وارتفاع 25 سم وقاع مربع ، ثم أدرك أنه بحاجة إلى صندوق أصغر ، فقطعه من ارتفاع 1000 سم بمقدار حجم 3.
- تظل المساحة الموجودة في الأسفل كما هي ، وبالتالي يصبح الارتفاع مرتفعًا جدًا ، ويتحول شكل الصندوق إلى مكعب.
- الحل: استخدم صيغة حجم متوازي السطوح = الطول × العرض × الارتفاع للعثور على المساحة السفلية.
- نظرًا لأن الحجم = 2500 سم 3 والارتفاع = 25 سم ، واستبدال هذه القيم في صيغة الحجم ، يمكن الحصول على مساحة القاعدة المربعة على النحو التالي:
- 2500 = (الطول × العرض) × الارتفاع = (الطول × العرض) × 25 ، قسمة الجانبين على (25) ، يمكن رؤيتها بوضوح: 100 سم 2 = الطول × العرض ، والتي تمثل مساحة القاعدة.
- احسب طول وعرض مربع القاعدة كما يلي:
- مساحة القاعدة = (طول الضلع) 2 ، من هناك: طول الضلع = 100√ = 10 سم ، وبما أن القاعدة مربعة ، فإن عرضها يساوي أيضًا 10 سم.
- باستخدام قانون الحجم في خط متوازي مستطيل ، بعد قطع جزء من الارتفاع ، احسب ارتفاع الصندوق واحصل على: حجم الصندوق بعد القطع = الطول × العرض × الارتفاع ، من حيث:
- 1000 = 10 x 10 x height نتيجة قسمة كلا الجانبين على (100) هي: الارتفاع الجديد = 10 سم.
- نظرًا لأن الطول = العرض = الارتفاع ، فإن الشكل الناتج يكون مكعبًا.
7- المثال السابع
- ما مقدار الهواء الموجود في الغرفة على شكل متوازي مستطيل بطول 5 أمتار وعرض 6 أمتار وارتفاع 10 أمتار؟
- الحل: كمية الهواء في الغرفة = سعة الغرفة = حجم المستطيل.
- حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع ، حجم خط الموازي = 5 × 6 × 10 = 300 متر مكعب ، وبالتالي فإن حجم الهواء في الغرفة 300 متر مكعب.
8- المثال الثامن
- قضيب معدني متوازي السطوح طوله 10 أمتار وعرضه 60 سم وسمكه 25 سم وإذا كان المتر المكعب يكلف 250 دولار فما هو سعره؟
- الحل: لحساب سعر العمود المعدني ، يجب أولاً حساب حجمه ، نظرًا لأن السعر = التكلفة لكل متر مكعب × حجم المنشور المستطيل ، يمكن الحصول عليه:
- حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع = 10 × (60/100) × (25/10) ، وتجدر الإشارة إلى أنه تم تقسيمه على 100 لتحويل سم إلى متر.
- حجم منشور الزاوية اليمنى = 1.5 متر مكعب ، سعر الشعاع المعدني = 1.5 × 250 = 375 دولارًا أمريكيًا.
9- المثال التاسع
- ما ارتفاع خط الموازي إذا كان حجمه 300 سم 3 ومساحته السفلية 30 سم؟
- الحل: حجم المنشور المستطيل = الطول × العرض × الارتفاع ، ويمكن إيجاد الارتفاع على النحو التالي:
- الخلفية مستطيلة ، لذا مساحتها = الطول × العرض ، أي ما يعادل 30 سم.
- يمكن إيجاد الارتفاع من معادلة الحجم على النحو التالي: 300 = 30 × ارتفاع ، منها ارتفاع: 300/30 = 10 سم.
10- المثال العاشر
- بركة فارغة على شكل متوازي مستطيل طوله 25 مترا وعرضه 10 أمتار وعمقه مترين يمكن ملؤه بالماء بمعدل 800 لتر في الدقيقة.
- فهل تعرف بالضبط كم دقيقة وكم ساعة يستغرق ملء المتر المكعب = 1000 لتر؟
- الحل: لحساب كمية الماء المطلوبة لملء البركة ، يمكنك استخدام الصيغة حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع لحساب ثم الحصول على:
- حجم خط الموازي = 25 × 10 × 2 = 500 م 3 ، وهي كمية الماء اللازمة لملء البركة.
- الوقت اللازم للتعبئة الكاملة = الحجم / معدل التعبئة ، والفرق هو أن معدل التعبئة يجب أولاً قسمة اللترات على (1000) ثم تحويلها من لتر إلى متر مكعب.
- لأن كل متر مكعب = 1000 لتر أي 800 لتر / دقيقة = 800/1000 = 0.8 م / دقيقة ، ثم:
- الوقت اللازم لملء المسبح بالكامل = 500 م / ((0.8) م 3 / دقيقة) حيث الوقت بالدقائق = 625 دقيقة والوقت بالساعات = 625/60 = حوالي 10 ساعات ونصف.
11- المثال الحادي عشر
- إذا كان الحجم السفلي للصندوق أ (أي الطول والعرض) هو: 10 سم × 8 سم ، والحجم السفلي للصندوق ب: 15 سم × 10 سم ، فإن المربعين أ وب عبارة عن أشباه مستطيلة الشكل.
- صب الماء في الصندوق (ب) ما هو ارتفاع الماء في الصندوق؟
- الحل: كمية الماء (الحجم) في المربع أ = كمية الماء (الحجم) في المربع ب ، ثم استبدل صيغة حجم المستطيل شبه المكعب = الطول × العرض × الارتفاع.
- يبقى: 10 × 8 × 15 = 15 × 10 × الارتفاع ، ويتم الحصول عليها من خلال حل المعادلة: الارتفاع = 8 سم.
12- المثال الثاني عشر
- إذا كان حجم الصندوق المستطيل 1440 م 3 وطوله 15 م وارتفاعه 8 م فما ارتفاعه؟
- الحل هو: حجم المنشور المستطيل = الطول × العرض × الارتفاع.
- ومن هناك نحصل على: 1440 = 15 × 8 × ارتفاع ، وسيكون حل المعادلة واضحًا.
- الإرتفاع = 1440/120 = 12 م.
13- المثال الثالث عشر
- إذا كان حجم قاع الصندوق المستطيل 80 سم × 40 سم والحجم 160 لترًا.
- أحمد يريد أن يرسم كل الجوانب ماعدا قاع الصندوق ، وتكلفة الرسم 6000 قطعة نقدية / مربع ، ما هي تكلفة الرسم؟
- الحل: استخدم صيغة حجم المنشور المستطيل لإيجاد ارتفاع الصندوق ، باستثناء أنه يجب عليك أولاً تحويل اللتر إلى سنتيمترات مكعبة لمضاعفة الحجم في (1000) لتوحيد الوحدة.
- بما أن 1 لتر = 1000 سم مكعب ، تحصل على: حجم المنشور المستطيل = 160 لترًا = 160.000 سم مكعب.
- ثم استبدل هذه القيمة في صيغة حجم خط الموازي: الطول × العرض × الارتفاع ، وستحصل على:
- 000 = 80 × 40 × ارتفاع ، بدءًا من هذا: الارتفاع = 50 سم.
- مساحة المنشور المستطيل ، باستثناء القاع = المنطقة الجانبية + الجزء العلوي = المنطقة السفلية
- 2 × الارتفاع × (الطول + العرض) + الطول × العرض =
- 2 × 50 × (80 + 40) + 80 × 40 = 15200 سم² = 1.52 م² ، لأن 1 م² = 1000 سم².
- حساب تكلفة اللوحة = مساحة الصندوق × تكلفة اللوحة = 1.52 متر مربع × 6000 قطعة نقدية / م 2 = 9120 قطعة نقدية.