ما هو المثلث؟
المثلث هو أحد أشهر الأشكال الهندسية وله ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا وثلاثة رؤوس.
وبعضها يمكن أن يكون متماثلًا ، وأضلاع المثلث تُعطى أسماء خاصة في حالة المثلث القائم ، ويسمى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر ، بينما يُعرف الضلعان الآخران بالأرجل.
تحتوي جميع المثلثات على زوايا محدبة وثنائية المركز ، ويسمى جزء المستوى المحاط بالمثلث بالمثلث الداخلي ، بينما الباقي هو المثلث الخارجي.
يُعرف علم المثلثات أحيانًا باسم علم المثلثات ، وهو منطقة غنية بالهندسة ، مليئة بالنتائج الجميلة والروابط غير المتوقعة.
في عام 1816 م ، أثناء دراسة نقاط Brocard للمثلث ، قال Crelle: “إنه أمر رائع حقًا أن الشكل بسيط للغاية.
بما أن خصائص المثلث لا تنضب ، فكم عدد الخصائص المجهولة للأشكال الأخرى لا يمكن أن توجد؟
أنواع المثلث المختلفة
لتصنيف أنواع المثلثات المختلفة يوجد نوعان من التصنيف وهما:
صنف المثلثات حسب أضلاعها.
يمكن تصنيف المثلثات حسب أضلاعها كما يلي:
- مثلث متساوي الساقين ، حيث يكون ضلعه بنفس الطول والثالث مختلف.
- وهو أيضًا مثلث متساوي الأضلاع تتساوى فيه أطوال أضلاعه.
- مثلث سكالين ، حيث يختلف طول كل جانب عن طول الأضلاع الأخرى ، لذلك يطلق عليه “المتغير”.
صنف المثلثات حسب زواياها.
تصنيف المثلثات حسب زواياها هو قياس جميع زواياها الداخلية ويمكن تصنيف المثلثات حسب زواياها على النحو التالي:
- مثلث حاد تكون جميع زواياه حادة (أقل من 90 درجة).
- وهو أيضًا مثلث قائم الزاوية ، حيث تكون إحدى زواياه قائمة (تساوي 90 درجة) ، بينما تكون الزاويتان الأخريان حادة.
- مثلث منفرج ، حيث تكون إحدى زواياه منفرجة (أكبر من 90 درجة) ، بينما تكون الزاويتان الأخريان حادة.
خصائص المثلث
يمكن تلخيص خصائص المثلث بالنقاط التالية:
- المثلث له ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا وثلاثة رؤوس.
- دائمًا ما يكون مجموع الزوايا الداخلية للمثلث 180 درجة.
- دائمًا ما يكون مجموع أطوال ضلعي المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
- المثلث برؤوسه P و Q و R يُشار إليه بالرمز △ PQR.
منطقة المثلث
يمكن الحصول على مساحة المثلث بثلاث طرق مختلفة ، وتختلف هذه الطرق باختلاف نوع المثلث نفسه ، مثل:
- إذا كان المثلث متساوي الساقين: فإن مساحة هذا المثلث هي “نصف طول قاعدته مضروبة في ارتفاعه”.
- بينما ، إذا كان المثلث صحيحًا: فإن مساحة هذا المثلث هي “حاصل ضرب أطوال ضلعي الزاوية اليمنى مقسومًا على 2”.
- لكن إذا كان المثلث متساوي الأضلاع: مساحة هذا المثلث هي “طول ضلع المثلث تربيع (الجزيرة تربيع 3 4)”.
ومع ذلك ، فإن القانون الأول (نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع) هو القانون العام لإيجاد مساحة أي مثلث ، ولكن للقيام بذلك ، يجب استيفاء بعض الشروط ، وهي:
- طول أحد أضلاع المثلث معروف ، ويعتبر أساس هذا المثلث.
- كما أن طول الارتفاع المواجه للقاعدة معروف.
- اعلم أنه إذا أردنا تطبيق هذا القانون في حالة المثلث القائم ، فإن ضلعي الزاوية القائمة اللذين يحيطان بالزاوية القائمة معًا هما قاعدة هذا المثلث وارتفاعه.
محيط المثلث
ما يعنيه مصطلح “محيط المثلث” هو المسافة حول هذا المثلث وإيجاد محيط المثلث.
يعني إيجاد المسافة حول المثلث ؛ أسهل طريقة لحساب محيط المثلث هي جمع أطوال جميع أضلاعه.
لكن إذا كانت هذه الأطوال غير معروفة ، فسنجدها أولًا ، ثم نوجد المحيط.
اتبع أيضًا:
أوجد محيط المثلث بمعلومية أطوال أضلاعه الثلاثة
تذكر معادلة حساب محيط المثلث: بالنسبة للمثلث الذي تكون أضلاعه أ ، ب ، ج ، يُعرّف المحيط P على النحو التالي:
P = أ + ب + ج
- ما تعنيه هذه الصيغة بعبارات أبسط هو أنه لإيجاد محيط المثلث ، ما عليك سوى جمع أطوال كل من أضلاعه الثلاثة.
مثال 1
إذا كان هناك مثلث abc طول أضلاعه الثلاثة 5 سم ، فما محيط هذا المثلث؟
الحل: في هذا المثال ، طول الضلع أ يساوي 5 ، وطول الضلع ب هو 5 ، وطول الضلع ج يساوي 5.
يسمى هذا المثال المعين بمثلث متساوي الأضلاع ، لأن الأضلاع الثلاثة للمثلث متساوية في الطول.
لكن تذكر أن صيغة المحيط هي نفسها لأي نوع من أنواع المثلثات ، لذا فإن محيط هذا المثلث هو (p).
يتم الحصول عليها أيضًا من خلال مجموع هذه الجوانب الثلاثة معًا (P = a + b + c) ، مما يعني أن: p = 5 + 5 + 5 = 15 cm.
ملحوظة
- تذكر تضمين الوحدات في إجابتك النهائية ، لأنه إذا كانت أضلاع المثلث مقاسة بالسنتيمتر ، فيجب أن تكون إجابتك بالسنتيمتر.
- وإذا كانت الجوانب تقاس بدلالة متغير مثل x ، فيجب أن تكون إجابتك أيضًا بدلالة x.
أوجد محيط مثلث قائم الزاوية بمعلومية طولي ضلعين من أضلاعه
تذكر ما هو المثلث القائم: المثلث القائم الزاوية هو مثلث بزاوية 90 درجة.
دائمًا ما يكون ضلع المثلث المقابل للزاوية القائمة هو أطول ضلع يسمى الوتر ، وتظهر المثلثات القائمة بشكل متكرر.
لحسن الحظ ، توجد معادلة مفيدة جدًا في اختبارات الرياضيات لإيجاد أطوال أضلاع غير معروفة.
افترض أن هناك مثلثًا أمامنا ، وافترض أن أضلاعه تسمى “أ” ، “ب” ، “ج” ، وتذكر أن أطول ضلع في هذا المثلث يسمى الوتر.
نظرًا لأنه يتوافق مع الزاوية اليمنى ، فسنسميها “ج” ، وسنسمي الأضلاع الأخرى الأقصر “أ” ، “ب”.
كيف يمكنك إيجاد طول أحد الضلعين بمعلومية الضلعين الآخرين؟
الإجابة هي نظرية فيثاغورس التي تخبرنا أنه لكل مثلث قائم الزاوية بأضلاعه أ ، يكون وتر المثلث ج ، إذن:
a2 + b2 = c2
مثال 2
إذا كان هناك مثلث قائم الزاوية abc ، والضلع “c” هو الوتر ، وطول الضلع “a” هو 3 سم ، وطول الضلع “b” هو 4 ، فما محيط هذا المثلث؟
الحل: أولًا ، لإيجاد محيط هذا المثلث ، علينا معرفة أطوال أضلاعه الثلاثة.
نظرًا لأننا نعرف أطوال ضلعين من ضلعه ، يمكننا الحصول على طول الضلع الثالث (ج) باستخدام نظرية فيثاغورس: a2 + b2 = c2.
إذن: الشمال
c2 = 32 + 42 = 25 ، وبالتالي: c = 5 ، مما يعني أن طول الضلع الثالث (الوتر) هو 5 سم ، والآن بعد أن عرفنا جميع أطوال الأضلاع.
يُعطى محيط المثلث (P = a + b + c) بالعلاقة: p = 3 + 4 + 5 = 12 ، إذن محيط هذا المثلث يساوي 12 سم.
إيجاد محيط المثلث باستخدام قانون جيب التمام
تعلم قانون جيب التمام
يعمل هذا القانون مع أي مثلث ، وهي معادلة مفيدة جدًا ، سنشرحها الآن ، لذا استمر في القراءة.
الزاوية التي يُعرف قياسها يجب تمييزها بـ “C” ، ويجب أخذ الضلع الثالث لإيجاد محيط المثلث.
هو الضلع “c” ، يمكنك الحصول على طول الضلع “c” ثم إيجاد محيط المثلث ، من خلال قانون جيب التمام.
ينص قانون جيب التمام على أنه بالنسبة لأي مثلث بأضلاعه أ وب وج عند الزوايا المتقابلة أ وب وج ، إذن:
(c2 = a2 + b2 – 2ab لأن (C
مثال 3
إذا كان أحد أضلاع المثلث abc 12 سم ، والضلع ب 14 سم ، والزاوية ج قياسها 97 درجة ، فما محيط هذا المثلث؟
الحل: أولًا ، لإيجاد محيط هذا المثلث ، علينا معرفة أطوال أضلاعه الثلاثة ، لأننا نعرف أطوال ضلعين منها.
وقياس الزاوية ، يمكننا الحصول على (ج) بقانون جيب التمام:
(c2 = a2 + b2 – 2ab لأن (C.
لذلك:
- (ج 2 = 122 + 142 – 2 × 12 × 14 × لأن (97
- أيضًا (c2 = 144 + 196 – (336 x -0.12187)
- وأيضًا (c2 = 340 – (-40.95).
- ك 2 = 380.95
- ج = 19.52
إذن ، طول الضلع الثالث (ج) هو 16.53 سم ، وقد عرفنا الآن كل أطوال الأضلاع.
يمكننا إيجاد محيط المثلث (P = a + b + c) من خلال العلاقة: p = 12 + 14 + 19.52 = 12 ، إذن محيط هذا المثلث يساوي 45.52 سم.