ما هو المقصود من شبه منحرف؟
في الهندسة الإقليدية ، يُطلق على الشكل الرباعي المحدب ، مع زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتوازية ، شبه منحرف.
تسمى الجوانب المتوازية قواعد شبه المنحرف ، والجانبان الآخران يسمى الأرجل أو الجوانب الجانبية من شبه المنحرف.
(إذا لم تكن متوازية ، وإلا فهناك زوجان أساسيان). أما بالنسبة لنوع Scene ، فهو شبه منحرف ليس له جوانب متساوية الطول ، على عكس الحالات الخاصة التالية.
يتم تعريف شبه المنحرف أيضًا على أنه رباعي الأضلاع بزوج واحد من الجوانب المتوازية (تعريف “Proclus”).
كان هذا هو المعنى المحدد في إنجلترا في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، ومرة أخرى هو المعنى السائد في الاستخدام اللاحق ، خارج أمريكا الشمالية.
شبه المنحرف ، مثل أي رباعي ، أكثر عمومية من متوازي الأضلاع ، وهو معنى إقليدس للمصطلح.
شبه المنحرف وعلاقته بالمتوازي الأضلاع
هناك القليل من الخلاف حول ما إذا كان متوازي الأضلاع الذي يحتوي على زوجين من الجوانب المتوازية أفضل من اعتباره شبه منحرف أم لا!
عرّف بعض العلماء أيضًا شبه منحرف على أنه رباعي الأضلاع به زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية (يسمى التعريف الحصري) ، مما يؤدي إلى استبعاد الجوانب المتوازية.
عرّف علماء آخرون شبه منحرف بأنه رباعي الأضلاع به زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتوازية (يسمى التعريف العام).
وهذا يؤدي بالتالي إلى جعل متوازي الأضلاع نوعًا خاصًا من شبه المنحرف ، والتعريف الأخير مناسب للاستخدام في نوع الرياضيات العليا (حساب التفاضل والتكامل).
أيضًا ، وفقًا للتعريف العام ، فإن جميع متوازيات الأضلاع (بما في ذلك المعينات والمستطيلات والمربعات) هي شبه منحرف.
المستطيلات لها تناظر معكوس في الحواف الوسطى ، المعينات لها تناظر معكوس عند الرؤوس ، بينما المربعات لها تناظر معكوس عند الحواف الوسطى والرؤوس.
حالات خاصة من شبه المنحرف
هناك بعض الحالات الخاصة المتعلقة بالأشكال شبه المنحرفة ، ويمكن تلخيصها في النقاط التالية:
- (1) شبه المنحرف الأيمن: يسمى أيضًا “شبه منحرف الزاوية اليمنى” ، ويحتوي على زاويتين قائمتين متجاورتين.
- يستخدم شبه المنحرف الأيمن ، عند قاعدة شبه المنحرف ، لتقدير المساحات الموجودة أسفل المنحنى.
- (2) شبه منحرف حاد: شبه منحرف حاد له زاويتان حادتان متجاورتان عند حافة القاعدة الأطول.
- بينما يحتوي شبه منحرف منفرج على زاوية حادة وزاوية منفرجة عند كل قاعدة.
- (3) شبه منحرف متساوي الساقين: وهو شبه منحرف يكون فيه زوايا القاعدة لها نفس القياس ، ونتيجة لذلك ، يكون للرجلين أيضًا نفس الطول ولديهما تناظر انعكاسي.
- يمكن أن يكون شبه منحرف حاد أو شبه منحرف يمين (مستطيلات).
- (4) متوازي الأضلاع هو شبه منحرف بزوجين من الجوانب المتوازية: متوازي الأضلاع له تناظر دوران مركزي (أو تناظر انعكاس نقطي).
- وبالتالي فمن الممكن الحصول على شبه منحرف منفرجة أو شبه منحرف يمنى (مستطيلات).
- (5) شبه منحرف مماسي: هو شبه منحرف يحتوي على دائرة.
- يشبه رباعي الأضلاع “Saccheri” شبه منحرف في المستوى الزائدي ، مع زاويتين قائمتين متجاورتين ، بينما في المستوى الإقليدي يكون مستطيلًا ، ولامبرت الرباعي في المستوى الزائدي 3 زوايا قائمة.
حالة كونه شبه منحرف
يمكن أن تشكل أربعة أطوال D و C و B و A جوانب متتالية من شبه منحرف غير متوازي مع توازي a و b فقط عندما:
الرباعي هو متوازي أضلاع عندما: 0 = d -c = b -a ، لكنه رباعي مستعرض (وهو ليس شبه منحرف) عندما: الخصائص ، التي تجعل الشكل الرباعي المحدب شبه منحرف
بالنظر إلى الشكل الرباعي المحدب ، فإن الخصائص التالية متكافئة ، وكل منها يعني أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، وهذه الخصائص هي:
- لها زاويتان متجاورتان مكملتان ، ما يعني أن مجموعهما يساوي 180 درجة.
- الزاوية بين الضلع والقطر تساوي الزاوية بين الضلع المقابل ونفس القطر.
- تتقاطع الأقطار مع بعضها البعض بنفس النسبة (هذه النسبة هي نفسها بين أطوال الأضلاع المتوازية).
- كما أنه يقطع أقطار الشكل الرباعي إلى أربعة مثلثات متشابهة.
- تتقاطع أقطار الشكل الرباعي في أربعة مثلثات ، زوج واحد منها له مساحات متساوية.
- حاصل ضرب مناطق المثلثين المكونين من قطري واحد يساوي حاصل ضرب مناطق المثلثين التي شكلها القطر الآخر.
- المناطق S و T لأي من المثلثين المتقابلين للمثلثات الأربعة التي شكلتها الأقطار تحقق المعادلة التالية:
حيث “K” هي مساحة الشكل الرباعي.
- تتداخل نقاط المنتصف لجانبين متقابلين من تقاطع الأقطار.
- قاعدة الزوايا في الشكل الرباعي ABCD هي: Sin A Sin C = Sin B Sin D.
- جيب تمام زاويتين متجاورتين يساوي 0 ، وكذلك جيب تمام الزوايا الأخرى.
- مجموع ظلتي زاويتين متجاورتين يساوي 0 ، كما هو حال ظل التمام لزاويتين متجاورتين.
- يقسم أحد “النهايتين” المربع الرباعي إلى ربعين من المساحات المتساوية.
- يساوي ضعف طول “البيديان” الذي يصل بين نقطتي المنتصف في ضلعين متقابلين مجموع أطوال الأضلاع الأخرى.
علاوة على ذلك ، فإن الخصائص التالية متكافئة ، كل منها يعني أن الضلعين المتقابلين أ وب متوازيان:
- الأضلاع المتتالية d و c و b و a والأقطار p و q تحقق المعادلة:
- والمسافة “v” بين نقطتي منتصف الأقطار تحقق المعادلة:
اتبع أيضًا:
منطقة شبه منحرف
يمكن الحصول على منطقة شبه المنحرف “K” بالعلاقة التالية:
حيث “أ” و “ب” هما أطوال الأضلاع المتوازية ، و “ح” هو الارتفاع (المسافة العمودية بين هذين الجانبين) و “م” هو المتوسط الحسابي لأطوال الأضلاع المتوازية.
في عام 499 م ، عالم الفلك الرياضي العظيم في العصر الكلاسيكي للرياضيات الهندية.
وعالم الفلك الهندي “أرياباتا” ، هذه الطريقة في “أرياباتيا” (القسم 2.8).
ينتج عن هذا حالة خاصة من الصيغة المعروفة لمساحة المثلث ، مع الأخذ في الاعتبار المثلث على أنه شبه منحرف منحط حيث يتقلص أحد الأضلاع المتوازية إلى نقطة.
اشتق عالم الرياضيات الهندي باسكارا الأول من القرن السابع الصيغة التالية لمنطقة شبه منحرف ذات جوانب متتالية ب ، ج ، م:
حيث “أ” و “ب” متوازيتان و[b > a]؛ يمكن حساب هذه الصيغة في إصدار أكثر تناسقًا على النحو التالي:
عندما يتقلص أحد الأضلاع المتوازية إلى نقطة (على سبيل المثال: أ = 0) ، يتم تقليل هذه الصيغة إلى صيغة “هيرون” لمساحة المثلث.
هناك أيضًا معادلة أخرى مكافئة للمنطقة ، وهي مشابهة جدًا لصيغة “Heron”:
بينما [ (S = 1/2 (a + b + c + d ] هي نصف حجم شبه المنحرف P (هذه الصيغة تشبه صيغة “Brahmagupta”).
لكنها تختلف عنها في أن شبه المنحرف قد لا يكون دوريًا (محفور في دائرة (P ، والشكل أيضًا حالة خاصة لشكل Bretschneider لشكل رباعي عام).
ومن صيغة “Bretschneider” ما يلي:
- الخط الذي يصل النقاط ، يقسم المساحة.
مثال لحساب مساحة شبه منحرف.
مثال 1
إذا كانت هناك قطعة من الورق المقوى على شكل شبه منحرف ، وطول القاعدة الأولى من هذا الكرتون 4 سم.
طول القاعدة الثانية 6 سم وارتفاع صندوق الكرتون 3 سم ما مساحة هذه القطعة من الكرتون؟
الحل
نعلم أن مساحة شبه المنحرف = 1/2 x [مجموع أطوال القاعدتين (“a + b”)] × الارتفاع (“ح”) ؛ ثم يتم تحديد مساحة شبه المنحرف من خلال العلاقة:
1/2 × (4 + 6) × 3 = K (مساحة شبه المنحرف) = 15 سم² ؛ أي أن مساحة قطعة الكرتون 15 سم².