الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء

الضرب الداخلي والضرب التبادلي للمتجهات في الفضاء

• الضرب الداخلي هو أحد العمليات الهامة المستخدمة في الرياضيات ، ويتم تنفيذ هذه العملية على المتجهات.
• في هذه المقالة سوف نستعرض معًا ماهية الاتجاهات ، ويجب أن نعلم أن الضرب الداخلي يستخدم في العديد من التطبيقات نظرًا لأهميته.
• لأنه الأساس الذي يجب إيجاده (طول المتجه ، الزاوية بين متجهين ، بعض القيم المادية).

الضرب الداخلي هو ضرب المتجهات بواسطة الآحاد ، لأن هذه العملية تقوم على إخراج العديد من الأشياء التي يتم استخدامها واستخدامها في:

• للعمل.
• الفيض المغناطيسي.
• بيان القدرة.

الفرق بين الضرب العرضي والضرب الداخلي

• يتم إجراء الضرب الداخلي بين العناوين ، غالبًا لضرب المتجهات.
• هناك ميزات تجعله أكثر تميزًا عن الضرب العادي.
• هناك أسماء أخرى للضرب الداخلي ، مثل: (الضرب الاتجاهي).
• لأنه يتعلق بضرب متجهين.
• أو (الضرب المقطعي ، الضرب التبادلي).
• لأنها عملية ثنائية تحدث بين متجهين ، في فضاء ثلاثي الأبعاد.
• المتجه العمودي على المستوى الذي ينتمي إليه المتجهان هو نتيجة ضرب المتجهين.
• هذا على عكس الضرب القياسي ، والذي تبدو نتيجته كمية قياسية.
• المتجهان ليسا أرقامًا منتظمة ، ولكن هناك خصائص تجعلهما أكثر خصوصية.
• إذن ، هناك فرق بين ضرب متجهين وضرب عددين.

ملاحظات على النواقل

• المتجه: المتجه عبارة عن مجموعة من الأرقام المختلفة عموديًا وأفقيًا ، ويمكن أن يظهر لكل متجه أي عدد من الاتجاهات ، وفي معظم الأحيان يكون للمتجه ثلاثة اتجاهات.
• المتجهات المتساوية: متجهان متساويان إذا كان لكلاهما نفس المقدار.
• متجه الوحدة: متجه يبدو أن طوله وحدة واحدة.
• متجه بقيمة صفر: المتجه هو صفر إذا كانت جميع أبعاده وقيمه (0،0،0).
• المتجهات السالبة: هذه متجهات لها نفس القيمة ولكن لها الاتجاه المعاكس.
• المتجهات المتوازية هي نواقل تسير معًا في نفس الاتجاه ، ولكن يمكن أن تكون متساوية أو مختلفة في الحجم.
• المتجهات متحد المستوى: المتجهات التي تقع في نفس المستوى أو موازية لنفس المستوى.

معلومات عن الضرب الداخلي

• يحدث المنتج الداخلي في مستوى الإحداثيات بين متجهين ، حيث نصف المنتج الداخلي لمتجهين كضرب إسقاط أحد المتجهين على المتجه الآخر بواسطة المعلمة الموجودة في المتجه الآخر.
• (Real Inner Multiplication Space): هذا هو الاسم الذي يطلق على فضاء المتجه الحقيقي عند دمجه مع الضرب الداخلي.

خصائص الضرب الداخلي

هناك العديد من الخصائص الجبرية لعمليات الضرب المنتظمة وهي تنطبق أيضًا على الضرب الداخلي ، وهذه الخصائص موجودة أساسًا في جميع عمليات الضرب ، وهي:

• ميزة الاستبدال.
• والممتلكات التوزيعية.
• خاصية الضرب لعدد حقيقي.

هناك بعض الخصائص التي تنطبق فقط على الضرب الداخلي ، مثل:

• خاصية الضرب الداخلي ، أي عندما يتم ضرب المتجه في متجه آخر يكون حجمه صفرًا.
• من بين الخصائص التي تميز الضرب الداخلي هو فقط مضاعفة المتجهات -كما ذكرنا- أي أن هناك علاقة بين طول المتجه والضرب الداخلي.
• وطريقة كتابة المتجه تكون في شكل تناسب خطي لمتجهي الوحدة القياسيين.
• يمكن كتابة المتجه على أنه مطابق للخط القياسي لمتجه الوحدة.
• يمكن أيضًا كتابتها كمجموعة ، حيث يتم ضرب المتجه القياسي للوحدة في اتجاه كل منها في المكون.
• هناك العديد من الفرضيات التي طرحها العلماء والتي تحدد الكميات في شكل تناسب خطي.

تعريف دراسة الضرب الداخلي

• يعتبر درس الضرب الداخلي ومفهومه من أهم الدروس الموجودة في المناهج الصعبة سواء في المرحلة الإعدادية أو الثانوية.
• كما ذكرنا ، فإن الدرس هو شرح لعملية مهمة جدًا تحدث عند دراسة النواقل.
• بعد مراجعة الاتجاهات وخصائصها معًا ، سنتعرف على العمليات التي تحدث ، لذا فإن إحدى أبرز العمليات التي تحدث هنا هي “الضرب الداخلي”.
• عملية الضرب الداخلي لها العديد من التطبيقات الخاصة بها ، والتي يمكن أن تحدث من خلالها.
• من خلاله يمكننا تحديد: (طول المتجه ، الزاوية بين متجهين ، إيجاد موقع المتجه في اتجاه المتجه الآخر).

مفهوم الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي

• مجموع نواتج المركبات في الاتجاه الرأسي ، وكذلك حاصل ضرب المركبات في الاتجاه الأفقي.
• إنه المفهوم العام لـ “الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي”.
• إسقاط متجه على متجه آخر أو متجه بنفس معيار المتجه الآخر.
• إنه أيضًا تعريف الضرب الداخلي لمتجهين في مستوى الإحداثيات.

ناقلات عمودية

• هناك العديد من التطبيقات التي تحدث في عملية الضرب الداخلي ، وأهم هذه التطبيقات هو التحقق مما إذا كان المتجهان متعامدين أم لا.
• نظرًا لأن الضرب الداخلي للمتجهين سيكون عندئذٍ غير صفري.
• وتكون المتجهات متعامدة إذا كان حاصل ضربهما الداخلي بينهما صفرًا.
• ولا يكون المتجهان متعامدين إذا لم تكن النتيجة صفرًا عند حدوث الضرب الداخلي للمتجهين.

تطبيق الزاوية بين متجهين

من الممكن إيجاد الزاوية بين المتجهين بتطبيق عملية الضرب الداخلي بين المتجهين.

التطبيقات الفيزيائية للضرب الداخلي

• بالإضافة إلى أهمية الضرب الداخلي في التطبيقات الرياضية ، هناك أيضًا العديد من التطبيقات الفيزيائية للضرب الداخلي.
• هناك أيضًا العديد من التطبيقات الهندسية المفيدة لنا ونستفيد من الضرب الداخلي للوصول إليها.
• و (العمل) من أهم هذه التطبيقات ، حيث يساوي الشغل الضرب الداخلي بين (القوة ومتجه الإزاحة).
• استخدام آخر هو (التدفق المغناطيسي) ، والذي يتم الحصول عليه بضرب الداخلي في (المجال المغناطيسي ومساحة السطح).

تطبيق الزوايا والعمودية على مساحة الضرب الداخلية

غالبًا ما تُستخدم الزاوية بين متجهين في مساحة الضرب الداخلية للوصول إلى بعض العلاقات الأساسية التي تربط المتجهات الداخلية لمساحة الضرب ، مثل:

• العلاقات بين مسافة الصفر ومساحة الشريط في أي مصفوفة.
• على سبيل المثال ، إذا كان هناك حرف U يمثل فضاءًا فرعيًا للمساحة الداخلية للضرب V ، وإذا كان المتجه v يقع في V الرأسي ، فيُقال إنه عمودي على U إذا كان متعامدًا مع أي متجه في U.
• ثم يُقال إن مجموع المتجه على V عموديًا على U هو مكمل الفضاء الجزئي العمودي على U.